INVERS METODE OBE
Untuk menentukan solusi dari
SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL
dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar
tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe
operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara
sistematik.
- Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
- Pertukarkan dua persamaan tersebut.
- Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.
Karena baris (garis horisontal)
dalam matriks yang diperbesar beresuaian dengan persamaan dalam sistem yang
diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan
operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.
- Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama
dengan nol.
- Pertukarkanlah dua baris tersebut.
- Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang
lainnya.
Operasi-operasi ini
dinamakan Operasi Baris Elementer (OBE).
Sifat-sifat matriks yang
berbentuk eselon baris (row-echelon
form) dan eselon baris tereduksi (reduced
row-echelon form) :
- Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan
taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1
utama).
- Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka
semua baris seperti itu dikelompokkan berama-sama dibawah matriks.
- Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak
terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat
lebih jauh kekanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
- Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di
tempat lain.
Dikatakan matriks berada dalam
bentuk eselon baris jika memiliki sifat 1, 2, dan 3. Prosedur untuk mereduksi
menjadi eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan. Jika memiliki keempat sifat tersebut, maka matriks tersebut
berada dalam bentuk eselon
baris tereduksi dan
prosedurnya disebut Eliminasi Gauss.
Contoh
1 :
Carilah solusi dari persamaan
dibawah ini dengan menggunakan OBE.
x
+ y + 2z = 9
2x
+ 4y – 3z = 1
3x
+ 6y – 5z = 0
Penyelesaian
:
Ubah persamaan tersebut kedalam
bentuk matriks yang diperbesar
kemudian gunakan OBE :
- baris kedua : B2 + (-2)B1,
baris
ketiga : B3 + (-3)B1,
- baris kedua : B2 x (1/2),
- baris ketiga : B3 + (-3)B2,
- baris ketiga : B3 x 2,
pada matriks terakhir ini
dinamakan matriks berada dalam bentuk eselon baris.
Dari matriks eselon baris ini dapat ditulis kedalam bentuk persamaan yang
bersesuaian dengan matriks tersebut.
x
+ y + 2z = 9
y
– 7/2 z = -17/2
z
= 3
sehingga dengan
mensubstitusikan z = 3 kedalam persamaan kedua, diperoleh y – 7/2(3)
= -17/2 
y = 2.
Setelah itu substisikan z dan y kepersamaan pertama, diperoleh x + 2 +
2(3) = 9 x = 1.
Jadi, solusi dari persamaan
diatas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3.
Kita juga bisa mencari solusi
persamaan tersebut dengan cara mengubah matriks tersebut sampai dalam bentuk
matriks eselon baris tereduksi, hasil akhirnya akan sama. Misal matriks eselon
baris tersebut kita ubah kedalam eselon baris tereduksi.
- baris kedua : B2 + (-7/2)B3,
baris
pertama : B1 + (-2B3),
- baris pertama : B1 – B2,
Dari matriks eselon baris
tereduksi diatas diperoleh x = 1, y = 2 dan z = 3.
![\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 2& 4& -3\\ 3& 6& -5 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ 1\\ 0\end {array}\right]](file:///C:\Users\VALENT~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png)
![\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 3\\ 2\\ 3\end {array}\right]](file:///C:\Users\VALENT~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png)
![\left[ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 1\\ 2\\ 3\end {array}\right]](file:///C:\Users\VALENT~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.png)
